Mešanjem špila karata koliko je permutacija moguće dobiti? Odnosno, koliko različitih kombinacija? Matematički gledano, skoro pa da ne postoji način da nakon mešanja izvučete kombinaciju koju je iko ikada pre vas izvukao, te je tako raspored karata u vašim rukama apsolutno jedinstven još od momenta nastanka karata kao takvih. Čak i mnogo više od toga, kao suštinskog koncepta. Dakle, vi mešanjem karata kreirate Vašu jedinstvenu kombinaciju, jedinstvenu u čitavom univerzumu, još od njegovog postanka pre nekih 14 milijardi godina i upravo tu, u toj simbolici, leži nepojmljiva snaga matematičkog faktorijela (n!), odnosno u ovom slučaju faktorijela broja pedest i dva.

Reč je o redu broja tolike tolike veličine i simbolike da je o tome, ovako usput, krajnje nelagodno diskutovati, a posebno plastično analizirati što baš i planiramo u nastavku ovog teksta. Čisto da nahranimo tu sadističku znatiželju iracionalnog dela našeg uma.

Možemo se samo nadati da će nam oprostiti bogovi beskonačnosti na onome što ušravo sledi.

Ipak smo samo ljudi…

.

52!

Faktorijel predstavlja matematičku funkciju kojom se računa proizvod prirodnih brojeva od 1 pa do nekog određenog, prirodnog broja n. Koristi se ponajviše u statistici, kao i u zakonima verovatnoće i kombinatorici, a karakterističnu notaciju – n! – uveo je francuski matematičar Kristijan Kramp (Christian Kramp) sada već davne 1808. godine.

Na prvi pogled u ovom eksperimentu sve započinje više nego bezazleno: 52 tanko isečena komada plastike, šarenolikog dizajna, gde kao i kod svake mantričke ilustracije najveća kompleksnost započinje iz apsolutne jednostavnosti, jer broj kombinacija s kojim ćemo se upravo suočiti skoro pa da možemo svrstati u red beskraja, te da realno kontempliramo o nečemu tako apstraktnom.

Sâm princip faktorijela u ovom primeru leži u sledećoj matematičkoj logici:

ukoliko u ruci držimo tri karte, ukupan broj
njihovih permutacija iznosi 6, odnosno:

3! = 3 x 2 x 1

.

Ukoliko, pak, raspolažemo s 5 karata
rezultat je:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

sto dvadeset permutacija.

.

Dakle, 120 permutacija ili sto dvadeset jedinstvenih načina da karte rasporedimo.

Ali, kada je reč o celokupnom špilu karata, ukupni broj permutacija je sledeći:

52! = 52 x 51 x 50 x 49… x 1
=
8.0658175e+67
=
80.658.175.170.943.878.571.660
636.856.403.766.975.289.505.440
883.277.824.000.000.000.000

Logaritam faktorijela

Realna veličina ovog broja nadmašuje i najluđe kosmičke veličine koje čovečiji um uopšte može da prihvati i pojmi. A ukoliko bi, makar teoretski, želeli da prođemo kroz svaku permutaciju u špilu, koliko nam je mešanja za to potrebno?

Koliko vremena?

Ako bi nam, primera radi, jedna sekunda bila dovoljna za jedno mešanje karata, koliko bi nam sekundi ukupno za to trebalo trebalo?

I nakon kog vremena bi izvukli prvu ponovljenu kombinaciju numeričkog rasporeda?

Logično se nameće kako se mora proći kroz 52! sekunde mešanja ne bi li se tako nešto i dogodilo, te u narednom detaljnom misaonom eksperimentu ova problematika dobiće svoju vrlu slikovitu predstavu, odnosno biće skrenuta pažnja na to koliko u stvari nismo spremni da se mentalno uhvatimo u koštac s brojevima ovog ranga. Ili čak i većim (!?).

Počećemo tako što ćemo zamisliti da se sa našim špilom karata nalazimo na nekoj prozvoljnoj tački na ekvatoru naše planete (jer je na liniji ekvatora planeta Zemlja najšira, što je za naš opit od izuzetnog značaja), odakle planiramo da započnemo s eskperimentom istraživanja realne veličine faktorijela broja 52. Odrađivaćemo po jedno mešanje špila svake sekunde… Zatim drugo mešanje. Treće. Četvrto… I tako činimo narednih milijardu (brojevima: 1,000,000,000) godina. Stojeći tako na početnoj tački na ekvatoru i mešajući, tek nakon tih prvih milijardu godina mi činimo prvi korak napred s mesta na kojem smo počeli s eksperimentom (što je u tom trenutku sada već bilo pre milijardu godina). Dakle, špil jedan naš špil karata mešamo godinama, dekadama, vekovima, milenijumima, stotinama milenijuma, hiljadama… i tek nakon milijardu godina neprekidnog ponavljanja ove vrlo jednostavne radnje mi činimo taj jedan običan, jedva metar dugačak, korak. Nakon toga se ponovo zaustavljamo i nepomično ponavljamo taj isti zadatak iznova. Nastavljamo s mešanjem. Prolazi i drugih milijardu godina nakon kojih pravimo i drugi korak…

I dalje nastavljamo s mešanjem…

Posle pet milijardi godina, što je malo više od ukupnog vremenskog intervala koliko i postoji ova naša planeta Zemlja, načinili smo tek pet koraka od mesta gde smo sve i započeli. Nekoliko metara za neverovatnih 5 milijardi godina duž linije ekvatora planete Zemlje dugog ukupno 40.075 kilometara. Naš inicijalni zadatak mešanja karata mora da se ponavlja i traje sve dok ne obiđemo planetu duž ekvatorijalne putanje, krećući se istim tempom na svakih milijardu godina – po jedan korak. Tom brzinom koračamo duž čitavih kontinenata i okeanskih prostranstava… korak po korak.

Čisto poređenja radi, obilaženje jednog kruga oko naše planete, ekvatorijalnom rutom, brzinom od jednog metra u milijardu godina trajalo bi oko 1.264e24 sekundi, uzmemo li u obzir da odrasla osoba, u proseku, jednim korakom pređe rastojanje od okvirno jednog metra. S druge strane, vrednost od 1.264e24 sekundi gotovo tri puta nadmašuje trenutnu starost našeg celokupnog kosmosa, procenjenog na oko 14 milijardi godina.

Sledeći bitan momenat, odnosno – druga faza našog kapitalnog mentalnog opita, dešava se kada se nakon enormno, nezamislivo mnogo vremena neprekidnog koračanja i mešanja karata duž ekvatora, korak po korak na svakih milijardu godina, ponovo nađemo na istoj tački s koje smo i pošli u našu apstraktnu avanturu.

Nakon što smo tada kompletirali prvi krug oko planete, sada pipetom iz Tihog okeana uzimamo jednu kap vode. Jednu jedinu kap! I nakon što smo je izdvojili iz vodene zapremine najvećeg okeana na planeti, vraćamo se našem mešanju i novom krugu koračanja duž linije ekvatora. Započinjemo drugi krug, istim tempom – korak na svakih milijardu godina… sve dok se opet ne nađemo na mestu s kojeg smo krenuli, kada uzimamo i drugu kap vode iz Pacifika.

Već u ovom momentu, nakon dva kruga, radi se o nečemu što traje čitavu večnost, čak i u vremenskim okvirima našeg kosmosa, a za svo to vreme mi smo izdvojili tek dve kapi vode iz najvećeg okeana, najveće vodene zapremine za koju znamo i i dalje nastavljamo da se krećemo oko planete, istom brzinom, korak-po-korak na svakih milijardu godina, iznova, iznova i iznova, sve dok se ne nađemo na našoj početnoj, nultoj ekvatorijalnoj tački ali u trenutku kada našom pipetom ne odstranimo i poslednju kap vode iz Tihog okeana. Sada kada smo, kap-po-kap, ispraznili ceo Pacifik dobijamo prazan list papira, koji polažemo pred nama. Taj jedan komad hartije je sve što dobijamo nakon svega što smo do sada prošli; nakon beskrajnog koračanja na svakih milijardu godina; nakon uzimanja po jedne kapi vode iz Tihog okeana svaki put kada bi prepešačili čitavu planetu; sve do pražnjenja te enormne zapremine vode najvećeg okeana na svetu.

Sada, kada je čitav okean ispražnjen, ceo proces ponavljamo!

Sve ispočetka!

Pacifik biva ponovo napunjen vodom i mi iznova krećemo u koračanje na svakih milijardu godina, te uzimanja po kap vode iz okeana, nakon obilaženja planete, nogu pred nogu, dok naš špil karata svo to vreme neumorno i pažljivo mešamo. Jer, ne zaboravimo, mešanje karata je naše pogonsko gorivo za ovaj mentalni opit.

… sada, nakon još jedne, malo je reći večnosti, Tihi okean ponovo biva ispražnjen i mi dobijamo još jedan, drugi, list papira. Sada ih imamo dva komada i to je jasan znak da ponovo krećemo u novu turu pešačenja.

Sve nanovo ponavljamo…

Sve ponavljamo, ceo proces po istom principu kao i do sada i jedan po jedan list papira dodajemo na gomilu, sve dok ta gomila papira ne bude dužine rastojanja od Zemlje do Sunca. Da, tako je. Sve dok ne načinimo gomilu dužine jedne astronomske jedinice (astronomical unit, AU) koja je i definisana tim rastojanjem i približno iznosi 149,597,870 kilometara. Dakle, gomila papira visoka impozantnih 150 miliona kilometara, a sve naslagano postepenim dodavanjem jednog po jednog lista hartije za svo pređašnje obilaženje planete brzinom od jednog koraka na svakih milijardu godina, te pražnjenja okeana kap-po-kap. I da, da nikako ne zaboravimo, svo ovo vreme traje mešanje naših karata, bez prekida. Ni na sekund.

Da li tu završavamo našu potragu za prvim ponovljenim nizom od 52 karte, koje, uzgred, već sada večno traje?

Ne.

Potrebna nam je još jedna gomila te papirnate gomile jednake dužine kao i prva – dužine jedne astronomske jedinice, te nastavljamo s dodavanjem po jednog lista kako praznimo okean. Za konačan kraj ove čak i misaone torture dostojne najstrašnijeg kosmičkog horora kome nema kraja potrebno nam je ukupno čak 3.000 tih gomila od po jedne AU dužine. Svojecrsno pakleno gomilanje koje moramo da ponovimo 3.000 puta i tek nakon toga završavamo s mešanjem karata i tada smo u potpunosti iscrpeli punu snagu faktorijela broja 52.

Odnosno svih mogućih permutacija jednog špila karata.

To je ta sirova moć broja koji se krije iza 52!.

Skriveni potencijal koji leži u svakom špilu karata!

Špilu ušuškanom u kutiji u fioci skoro svakoga od nas, u čijoj se matematičkoj senci vešto skriva punokrvni demon iz ambisa večnosti, spreman da nas goni u pakao beskrajnih brojeva i nesagledivih prostranstava vremena, kojem nema kraja i koji definitivno ne pojmimo u punom kapacitetu.

S druge strane, paradoksalno, vrednost 52! možemo ručno ispisati za nekih tridesetak sekundi, možda nepun minut i koji je, u tom numeričkom, kompresovanom formatu, daleko je manji od mnogih drugih, zaista velikih brojeva, dok smo mi stali da se igramo s faktorijelom broja 52. Broja koji sadrži svega 67 cifara, što je u poređenju s brojem kao što je npr. gugol (googol, 10¹⁰⁰) daleko manje, jer je gugol reda veličine jedinice sa sto pratećih nula… A što je, opet, ništa u poređenju s gugolpleksom (Googolplex):

1 s 10 na stotom nula

10^10‾100

Ako bi ovaj broj, za razliku od 52!, probali makar i ručno da ispišemo, u samom startu bi naišli na nepremostiv fizički problem: broj nula gugolpleksa premašuje broj atoma od kojih je satkan nama dostupan i merljiv univerzum.

A nastavimo li u ovom maniru s igranjem brojevima, postoji realna mogućnost da završimo upadajući u paradoksalnu crvotočinu problematike, analize i pokušaja razumevanja Gremovog broja (Graham’s number), gde onda postoji i velika izvesnost gubitka razuma spram Broja koji bi stavili pred nas…

Albert Ajnštajn je jednom prilikom rekao da se bog ne kocka.

I u pravu je bio.

Ne kocka se.

On je krupije za zelenim stolom Postanja.

Zato ćemo sada, i ovde, stati.

Svaki broj je beskonačan,
nema razlike.

(Knjiga Zakona, 1:4)